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Fiche de révision Terminale spé

Fonctions trigonométriques

Chapitre 13 — $\cos$, $\sin$ et $\tan$ : leurs symétries, les formules d'addition et leurs dérivées.

Nées de l'étude du cercle et des ondes, les fonctions trigonométriques décrivent tous les phénomènes périodiques.

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Chapitre 13 Vue d'ensemble

Au programme

Propriétés
  • Parité, périodicité, graphes
  • Formules d'addition et de duplication
Dérivation
  • Limite clé $\dfrac{\sin x}{x}\to1$
  • Dérivées de $\sin$, $\cos$, $\tan$
L'idée forte

Tout part du cercle trigonométrique : $\cos$ et $\sin$ y sont des coordonnées.

Partie 1 ★ Le point de départ

Cercle trigonométrique

Définition géométrique

Au réel $x$ on associe le point $M$ du cercle unité tel que $\big(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}\big)=x$ : alors $M(\cos x,\sin x)$.

x M cos x sin x O

L'abscisse de $M$ vaut $\cos x$, son ordonnée vaut $\sin x$.

Partie 1 Les symétries

Parité et périodicité

À retenir
$$\cos(-x)=\cos x \qquad \sin(-x)=-\sin x$$

$\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques : $\cos(x+2\pi)=\cos x$.

cos paire sin impaire

$\cos$ est paire (axe des ordonnées) ; $\sin$ est impaire (origine).

Partie 1 Deux ondes

Graphes de $\cos$ et $\sin$

Variations

$\cos$ décroît sur $[0,\pi]$ ; $\sin$ croît sur $\big[0,\tfrac{\pi}{2}\big]$ puis décroît sur $\big[\tfrac{\pi}{2},\pi\big]$.

cos sin 1 -1

Périodiques de période $2\pi$ ; $\cos$ est $\sin$ décalée de $\tfrac{\pi}{2}$.

Partie 2 ★ Le cœur du chapitre

Formules d'addition

Cosinus
$$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$$
Sinus
$$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$$
Partie 2 Angle double

Duplication et linéarisation

Angle double
$$\cos 2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x \qquad \sin 2x=2\sin x\cos x$$
Linéarisation
$$\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2} \qquad \sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$
Partie 3 ★ La limite fondamentale

Limites de référence en $0$

À connaître
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x}=0$$
y = x sin

Près de $0$, $\sin x\approx x$ : la tangente en $O$ a pour pente $1$.

Partie 3 Les formules clés

Dérivées de $\sin$ et $\cos$

Formules
$$\sin'(x)=\cos x \qquad \cos'(x)=-\sin x$$
Exemple

$\big(x\sin x\big)'=\sin x+x\cos x$.

Partie 3 La tangente

Fonction tangente

Dérivée
$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \qquad \tan'(x)=1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}$$
tan

$\tan$ est croissante, avec des asymptotes verticales en $\tfrac{\pi}{2}+k\pi$.

Partie 3 En pratique

Dérivée d'une composée affine

Formules
$$\big(\sin(ax+b)\big)'=a\cos(ax+b)$$
$$\big(\cos(ax+b)\big)'=-a\sin(ax+b)$$
Exemple

$\big(\cos(\pi t)\big)'=-\pi\sin(\pi t)$ : on n'oublie ni le facteur $a$, ni le signe.

Synthèse À revoir 5 min avant

Mémo express

Parité / période$\cos$ paire, $\sin$ impaire ; $2\pi$
Addition (cos)$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$
Addition (sin)$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$
Duplication$\cos2x=2\cos^2x-1$ ; $\sin2x=2\sin x\cos x$
Limite clé$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ ; $\dfrac{\cos x-1}{x}\to0$
Dérivées$\sin'=\cos$, $\cos'=-\sin$, $\tan'=1+\tan^2$
Vigilance Le jour J

Les pièges à éviter

Piège
  • En analyse, les angles sont en radians (les dérivées l'exigent).
  • $\cos(a+b)\neq\cos a+\cos b$ : utiliser les formules d'addition.
  • $(\cos(ax+b))'=-a\sin(ax+b)$ : ne pas oublier le facteur $a$ ni le signe.
  • $\tan$ n'existe pas en $\tfrac{\pi}{2}+k\pi$ : attention au domaine.
Auto-évaluation Cliquez pour la réponse

Quiz éclair

Q1$\cos(2x)$ en fonction de $\cos x$ ?
$\cos(2x)=2\cos^2x-1$.
▸ cliquer pour révéler
Q2Dérivée de $x\mapsto\sin(3x)$ ?
$3\cos(3x)$.
▸ cliquer pour révéler
Q3Que vaut $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$ ?
$1$.
▸ cliquer pour révéler
Q4Dérivée de la fonction $\tan$ ?
$\tan'(x)=1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$.
▸ cliquer pour révéler
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