→

Fiche de révision Terminale spé

Calcul vectoriel dans l'espace

Chapitre 16 — les vecteurs en 3D : opérations, colinéarité, coplanarité, repères et barycentres.

L'algèbre des vecteurs transforme la géométrie de l'espace en calculs sur des coordonnées.

Naviguez avec les flèches ← → du clavier, ou via le Sommaire.

Chapitre 16 Vue d'ensemble

Au programme

Vecteurs et opérations

Addition (Chasles), multiplication, colinéarité
Droites, plans, vecteurs coplanaires

Repérage et barycentres

Bases, repères, coordonnées
Barycentres de deux et trois points

L'idée forte

Trois vecteurs non coplanaires suffisent à repérer tout point de l'espace.

Partie 1 ★ L'objet de base

Vecteur de l'espace

Définition

Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est défini par une direction, un sens et une norme $\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=AB$.

Sur le cube, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}$ : des vecteurs égaux (même direction, sens, norme).

Partie 1 Reconnaître un parallélogramme

Égalité vectorielle

Égalité

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ signifie : même direction, même sens, même longueur ($D$ est l'image de $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$).

Caractérisation

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \iff ABDC$ est un parallélogramme.

Partie 1 ★ Décomposer une somme

Addition et relation de Chasles

Relation de Chasles

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}$$

On insère un point intermédiaire $M$ : un « degré de liberté » pour découper un vecteur.

Partie 1 Somme géométrique

Règle du parallélogramme

Somme de deux vecteurs

$$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$$

Le quadrilatère $OACB$ est un parallélogramme ; la diagonale issue de $O$ porte la somme.

Partie 1 Étirer un vecteur

Multiplication par un réel, colinéarité

$k\cdot\vec u$

Même direction que $\vec u$ ; sens de $\vec u$ si $k\gt 0$, opposé si $k\lt 0$ ; norme $|k|\,\lVert\vec u\rVert$.

$\vec u,\vec v$ colinéaires $\iff$ il existe $k$ tel que $\vec v=k\,\vec u$ (et alors $A,B,M$ alignés).

Partie 1 Caractériser une droite

Droites de l'espace

Vecteur directeur

Une droite $(d)$ est dirigée par tout vecteur $\vec u\neq\vec0$ de sa direction.

Caractérisation vectorielle

$$M\in(d) \iff \exists t\in\mathbb{R},\ \overrightarrow{AM}=t\,\vec u$$

Partie 2 ★ Un point et deux vecteurs

Caractérisation vectorielle d'un plan

Avec $\vec u,\vec v$ non colinéaires

$$M\in(ABC) \iff \exists(t,t')\in\mathbb{R}^2,\ \overrightarrow{AM}=t\,\vec u+t'\,\vec v$$

$\overrightarrow{AM}$ est une combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$ : $M$ reste dans le plan.

Partie 2 Dans un plan, ou non

Vecteurs coplanaires

Caractérisation

$\vec u,\vec v,\vec w$ coplanaires (avec $\vec u,\vec v$ non colinéaires) $\iff \vec w=t\,\vec u+t'\,\vec v$.

Si $ABCD$ forme un tétraèdre, les vecteurs sont non coplanaires : ils forment une base.

Partie 3 ★ Repérer l'espace

Base et repère de l'espace

Définition

Trois vecteurs non coplanaires $(\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ forment une base ; $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ est un repère.

Le plus souvent la base est orthonormée : vecteurs unitaires, orthogonaux deux à deux.

Partie 3 Du point au triplet

Coordonnées d'un point, d'un vecteur

Décomposition unique

$$\overrightarrow{OM}=x\,\vec\imath+y\,\vec\jmath+z\,\vec k \quad\Longrightarrow\quad M(x,y,z)$$

On atteint $M$ par trois pas : $x$ selon $\vec\imath$, $y$ selon $\vec\jmath$, $z$ selon $\vec k$.

Partie 3 Le calcul analytique

Calculs sur coordonnées

Vecteur et milieu

$$\overrightarrow{AB}\,(x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$$

$$I_{[AB]}\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2},\ \frac{z_A+z_B}{2}\right)$$

Opérations

$\vec u+\vec u'\,(x+x',\,y+y',\,z+z')$ et $k\vec u\,(kx,\,ky,\,kz)$.

Partie 4 ★ Le point d'équilibre

Barycentre de deux points

Définition ($\alpha+\beta\neq0$)

$$\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec0 \quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{AG}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$$

Ici $G=\mathrm{bary}\{(A,1),(B,2)\}$ : plus proche de $B$. Si $\alpha=\beta$, $G$ est le milieu (isobarycentre).

Partie 4 L'outil de calcul

Propriété de réduction

Pour tout point $M$

$$\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\,\overrightarrow{MG}$$

Coordonnées (avec $M=O$)

$$x_G=\frac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta}\quad(\text{idem }y,z)$$

Partie 4 Dans le plan d'un triangle

Barycentre de trois points

Définition ($\alpha+\beta+\gamma\neq0$)

$$\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}+\gamma\overrightarrow{GC}=\vec0$$

Avec $\alpha=\beta=\gamma=1$ : $G$ est le centre de gravité, intersection des médianes.

Partie 4 Regrouper les points

Théorème d'associativité

Barycentre partiel

Si $K=\mathrm{bary}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}$ (avec $\alpha+\beta\neq0$), alors le barycentre de $\{(A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma)\}$ est celui de $\{(K,\alpha+\beta),(C,\gamma)\}$.

En pratique

On remplace deux points par leur barycentre partiel pour construire $G$ pas à pas.

Synthèse À revoir 5 min avant

Mémo express

Chasles$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}$

Colinéaires$\vec u,\vec v$ colin. $\iff\vec v=k\vec u$

Plan$M\in(ABC)\iff\overrightarrow{AM}=t\vec u+t'\vec v$

Base$\overrightarrow{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k$

Coordonnées$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,\,y_B-y_A,\,z_B-z_A)$

Barycentre$\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}$

Vigilance Le jour J

Les pièges à éviter

Piège

Vecteurs coplanaires ($\vec w=t\vec u+t'\vec v$) $\neq$ points alignés.
Une base de l'espace, c'est trois vecteurs non coplanaires (pas deux).
Le barycentre n'existe que si la somme des coefficients est non nulle.
Réduction : $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}$, surtout pas $=\overrightarrow{MG}$.

Auto-évaluation Cliquez pour la réponse

Quiz éclair

Q1Que dit la relation de Chasles ?

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}$.

▸ cliquer pour révéler

Q2Combien de vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace ?

Trois.

▸ cliquer pour révéler

Q3Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ avec $A(1,0,2)$ et $B(3,1,2)$ ?

$(2,\,1,\,0)$.

▸ cliquer pour révéler

Q4Isobarycentre de $A,B,C$ (poids $1,1,1$) ?

Le centre de gravité du triangle $ABC$.

▸ cliquer pour révéler