Chapitre 31 — démontrer le théorème de d'Alembert–Gauss : tout polynôme complexe non constant admet une racine dans $\mathbb{C}$.
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$|P|$ atteint un minimum sur $\mathbb{C}$, et un minimum de $|P|$ ne peut être qu'une racine de $P$.
Soit $P$ un polynôme à cœfficients complexes non constant. On montre :
Les deux résultats sont incompatibles si $P$ ne s'annule pas : le minimum $z_0$ est donc une racine de $P$.
La fonction $\varphi : z\longmapsto |P(z)|$ est continue sur $\mathbb{C}$ : pour tout $z_0\in\mathbb{C}$ et tout $\varepsilon>0$, il existe $\eta>0$ tel que
$|P(z)-P(z_0)|$ devient aussi petit qu'on veut quand $|z-z_0|$ est petit, puis l'inégalité triangulaire renversée donne $\bigl||P(z)|-|P(z_0)|\bigr|\leqslant|P(z)-P(z_0)|$.
Soit $P(z)=a_nz^n+\cdots+a_1z+a_0$, de degré $n\geqslant 1$ ($a_n\neq 0$). Pour tout réel $A>0$, il existe un réel $R>0$ tel que
$\displaystyle\lim_{|z|\to+\infty}|P(z)|=+\infty$ : c'est l'analogue complexe du comportement à l'infini d'un polynôme réel non constant.
On choisit $R\geqslant R_1$ assez grand pour que $\dfrac{|a_n|}{2}R^n\geqslant A$ : alors $|z|>R$ donne $|P(z)|>A$.
Ici $a_2=1$, donc $M=|-2|+|5|=7$ et $R_1=\max(1,14)=14$.
Hors du disque de rayon $14$, $|P|$ dépasse $98$ : le minimum de $|P|$, s'il existe, est à chercher dans ce disque.
Les racines $1\pm 2i$ sont de module $\sqrt5\lt 14$ : elles sont bien dans le disque.
Soit $f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}$ continue et $R>0$. Sur le disque fermé $\overline{D}(0,R)=\{z\in\mathbb{C}\mid|z|\leqslant R\}$, $f$ admet un minimum :
C'est le pendant, dans le plan complexe, du théorème des bornes pour une fonction continue sur un segment $[a,b]$.
Si $P$ est non constant, il existe $z_0\in\mathbb{C}$ tel que
Soit $P$ de degré $n\geqslant 1$ et $z_0\in\mathbb{C}$. Si $P(z_0)\neq 0$, alors il existe $z_1\in\mathbb{C}$ tel que
Là où $P$ ne s'annule pas, on peut toujours faire strictement diminuer $|P|$ en se déplaçant un peu : un point où $P\neq 0$ n'est jamais un minimum.
$Q(h)=P(z_0+h)$ est un polynôme en $h$ de degré $n$ :
Soit $k\geqslant 1$ le plus petit indice tel que $c_k\neq 0$. On factorise :
où $r$ est un polynôme en $h$ sans terme constant : $r(0)=0$ (et $r=0$ si $k=n$).
On pose $u=-\dfrac{c_0}{c_k}=|u|e^{i\theta}$ et, pour $t>0$, $h=t\,e^{i\theta/k}$. Avec $\lambda=\dfrac{t^k}{|u|}>0$ :
La correction $c_kh^k$ pointe vers l'origine : le point se rapproche de $0$.
Par continuité, il existe $\eta>0$ tel que $|h|\lt\eta\Rightarrow|r(h)|\lt\frac12$. On prend
Par inégalité triangulaire, $|(1-\lambda)-\lambda r(h)|\lt 1-\frac{\lambda}{2}$, donc avec $z_1=z_0+h$ :
$P(0+h)=1+h^2$ : $c_0=1$, $c_1=0$, $c_2=1$, donc $k=2$ et $r=0$. Puis $u=-1=e^{i\pi}$, $\theta=\pi$ et $h=t\,e^{i\pi/2}=it$ :
Sur l'axe réel, $P(t)=1+t^2>1$ : $|P|$ augmente. Il faut tourner de $\theta/k=\pi/2$ pour que $c_2h^2$ s'oppose à $c_0$.
Tout polynôme à cœfficients complexes, non constant, admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$ :
Soit $z_0$ un minimum de $|P|$ sur $\mathbb{C}$. Si $P(z_0)\neq 0$, Argand fournit $z_1$ avec $|P(z_1)|\lt|P(z_0)|$ : contradiction. Donc $P(z_0)=0$.
Le lemme 1 et le théorème admis assurent l'existence d'un point où $|P|$ est minimal : le lemme 1 confine la recherche dans un disque fermé.
Le lemme de d'Alembert–Argand montre qu'un tel point ne peut être qu'une racine de $P$.
On l'appelle aussi théorème fondamental de l'algèbre. C'est un théorème d'existence : il ne donne aucun procédé de calcul d'une racine.
Tout polynôme $P$ de degré $n\geqslant 1$, de cœfficient dominant $a_n$, s'écrit
où $z_1,\dots,z_n$ sont les racines de $P$, comptées avec leur multiplicité.
D'Alembert–Gauss donne une racine $z_{n+1}$, d'où $P(z)=(z-z_{n+1})Q(z)$ avec $\deg Q=n$ et même cœfficient dominant ; on applique l'hypothèse de récurrence à $Q$.
Sans racine réelle, $z^2-2z+5$ a bien ses $2$ racines dans $\mathbb{C}$ ; $z^4-1$ en a $4$.
Deux racines distinctes, mais trois comptées avec multiplicité : $1$ (double) et $-2$.